Question

【題目】已知數(shù)列{an}，a1=a（a∈R），an+1= （n∈N*）．
（1）若數(shù)列{an}從第二項起每一項都大于1，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=﹣3，記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，證明：Sn＜n+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：數(shù)列{an}從第二項起每一項都大于1，可得

當n≥2時，an+1= =2﹣ ＞2﹣ =1，

所以只需a2= ＞1，解得a＞1或a＜﹣2

（2）證明：由（1）可得，當n≥2時，an+1﹣1= ﹣1

= ＜ = （an﹣1），

即有當n≥4時，an﹣1＜（a3﹣1）（ ）n﹣3，

即有an＜1+（a3﹣1）（ ）n﹣3=1+ （ ）n﹣3，

此時Sn＜﹣3+5+（1+ ）+[1+ （ ）]+…+[1+ （ ）n﹣3]

=n+ =n+ [1﹣（ ）n﹣2]＜n+ ，

易證，當n=1，2，3，Sn＜n+ 成立．

綜上可得，對任意的正整數(shù)n，均有Sn＜n+

【解析】（1）由題意可得當n≥2時，an+1= =2﹣ ＞2﹣ =1，所以只需a2= ＞1，解不等式即可得到所求范圍；（2）求得當n≥4時，an﹣1＜（a3﹣1）（ ）n﹣3 ， 即有an＜1+（a3﹣1）（ ）n﹣3=1+ （ ）n﹣3 ， 運用等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質，可得Sn＜n+ ；再驗證n=1，2，3也成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關知識，掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數(shù)列的通項公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．