Question

已知函數y=f（x）對任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-

2

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．
（1）判斷并證明f（x）在R上的單調性；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數的值域,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）直接利用函數單調性的定義進行判定，設在R上任意x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，判定f（x₂）-f（x₁）的符號即可得到結論；
（2）根據單調性可得函數f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答： 解 （1）f（x）在R上是單調遞減函數
證明如下：
令x=y=0，f（0）=0，令x=-y可得：f（-x）=-f（x），在R上任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）．
又∵x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．由定義可知f（x）在R上為單調遞減函數．
（2）∵f（x）在R上是減函數，
∴f（x）在[-3，3]上也是減函數．
∴f（-3）最大，f（3）最小．
f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-

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）=-2．
∴f（-3）=-f（3）=2．
即f（x）在[-3，3]上最大值為2，最小值為-2．

點評：本題主要考查了函數的單調性的判定以及抽象函數的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．