Question

【題目】如圖1，在中，分別是上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2．

（1）求證：平面；

（2）若是的中點，求與平面所成角的大小；

（3）線段上是否存在點，使平面與平面垂直？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析.

【解析】

(1)證明垂直平面內兩條相交直線即可；

(2)建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面的法向量，利用向量夾角公式，即可得與平面所成角.

(3)假設存在點，設其坐標為，則，求出平面法向量，假設平面與平面垂直，則，得出的值，從而得出結論.

（1），,是平面內的兩條相交直線，

平面,

又平面，

,

又,是平面內的兩條相交直線，

平面.

（2）如圖建系，

則，，，，

∴，，

設平面的一個法向量為

則 ∴ ∴

∴取，得，

又∵，

∴，與平面所成角

∴，，

∴與平面所成角的大小.

（3）設線段上存在點，設點坐標為，則

則，

設平面法向量為，

則，

∴取，得．

假設平面與平面垂直，

則，∴，

∴不存在線段上存在點，使平面與平面垂直