Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，且，底面，為中點,點為上一點．

（1）求證： 平面；

（2）求二面角 的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于O，連接EO，證明，推出 平面．
（2）以CA，CB，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數量積求解二面角的余弦值．

（1）連接交于，連接，

因四邊形為矩形，，為對角線，所以為中點，又為中點，

所以，平面，平面，

所以 //平面．

（2）因為底面，所以底面，

又，所以以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

則，，，．，，

設平面的法向量為,則有，即 令，則．

由題意底面，所以為平面的法向量，

所以，又由圖可知二面角為鈍二面角，

所以二面角 的余弦值為。