Question

【題目】已知橢圓C： （a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析。

【解析】試題分析：（1）根據， 兩點關于y軸對稱，由橢圓的對稱性可知C經過， 兩點.另外由知，C不經過點P1，所以點P2在C上.因此在橢圓上，代入其標準方程，即可求出C的方程；（2）先設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，再設直線l的方程，當l與x軸垂直時，通過計算，不滿足題意，再設l： （），將代入，寫出判別式，利用根與系數的關系表示出x1+x2，x1x2，進而表示出，根據列出等式表示出和的關系，從而判斷出直線恒過定點.

試題解析：（1）由于， 兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過， 兩點.

又由知，C不經過點P1，所以點P2在C上.

因此，解得.

故C的方程為.

（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，

如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知，且，可得A，B的坐標分別為（t， ），（t， ）.

則，得，不符合題設.

從而可設l： （）.將代入得

由題設可知.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.

而

.

由題設，故.

即.

解得.

當且僅當時， ，欲使l： ，即，

所以l過定點（2， ）

點睛:橢圓的對稱性是橢圓的一個重要性質，判斷點是否在橢圓上，可以通過這一方法進行判斷；證明直線過定點的關鍵是設出直線方程，通過一定關系轉化，找出兩個參數之間的關系式，從而可以判斷過定點情況.另外，在設直線方程之前，若題設中未告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況，其通法是聯立方程，求判別式，利用根與系數的關系，再根據題設關系進行化簡.