Question

【題目】已知圓M過兩點A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圓心M在x+y﹣2＝0上，

（Ⅰ）求圓M的方程；

（Ⅱ）設P是直線x+y+2＝0上的動點．PC，PD是圓M的兩條切線，C，D為切點，求四邊形PCMD面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；（Ⅱ）最小值為4．

【解析】

(Ⅰ)根據圓心在直線AB的垂直平分線l上求解即可.

(Ⅱ)易得四邊形PCMD面積為S＝|PC|r,故轉換為求的最小值再轉換為求的最小值即可.

（Ⅰ）設圓心M（a,b）,則a+b﹣2＝0①,

又A（1,﹣1）,B（﹣1,1）,

∴kAB,

∴AB的垂直平分線l的斜率k＝1,又AB的中點為O（0,0）,

∴l的方程為y＝x,而直線l與直線x+y﹣2＝0的交點就是圓心M（a,b）,

由,解得：,又r＝|MA|＝2,

∴圓M的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；

（Ⅱ）由切線的性質知：四邊形PCMD的面積S＝|PC|r,

四邊形PCMD的面積取最小值時,|PM|最小為圓心M到直線x+y+2＝0的距離,

即,得|PC|min＝2．

∴四邊形PCMD面積的最小值為4．