Question

設函數f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）當a=0時，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）當m=2時，若函數k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在實數m，使函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，即：x²-mlnx≥x²-x，轉化為即：m≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，從而得出實數m的取值范圍．
（2）當m=2時，若函數k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，即：k（x）=x-2lnx-a，設y₁=x-2lnx，y₂=a，分別畫出它們的圖象，由圖得實數a的取值范圍．
（3）先假設存在實數m，使函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性，由圖可知，只須函數f（x）=x²-mlnx在x=

1

2

處取得極小值即可．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，
即：x²-mlnx≥x²-x，
mlnx≤x，即：m≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，
因為

x

lnx

在（1，+∞）上的最小值為：e，
∴m≤e．
實數m的取值范圍：m≤e
（2）當m=2時，若函數k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，
即：k（x）=x-2lnx-a，
設y₁=x-2lnx，y₂=a，分別畫出它們的圖象，
由圖得：
實數a的取值范圍（2-2ln2，3-2ln3]；
（3）假設存在實數m，使函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性，
由圖可知，只須函數f（x）=x²-mlnx在x=

1

2

處取得極小值即可．
∵f（x）=x²-mlnx
∴f′（x）=2x-m×

1

x

，將x=

1

2

代入得：
1-2m=0，
∴m=

1

2

故存在實數m=

1

2

，使函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性．

點評：數形結合思想是解析函數圖象交點個數、函數零點個數中最常用的方法，即畫出滿足條件的圖象，然后根據圖象直觀的分析出答案，但數形結合的前提是熟練掌握各種基本初等函數的圖象和性質．