Question

（2007•崇明縣一模）已知二次函數f（x）=x²+bx+c（x∈R），同時滿足以下條件：
①存在實數m，使得f（m）=0，且對任意實數x，恒有f（x）≥0成立；
②存在實數k （k≠0），使得f（1-k）=f（1+k）成立．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=f（n），數列{b_n}滿足關系式bn=an+2+

2

，問數列{b_n}中是否存在不同的3項，使之成為等比數列？若存在，試寫出任意符合條件的3項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）二次函數有最小值0，二次函數的對稱軸為直線x=1，求出b，c的值，即可求出函數y=f（x）的解析式
（2）根據Sn與an的關系 an=

0 2n-3

n=1 n≥2，n∈N*

，bn=

2+ 2 2n-1+ 2

n=1 n≥2，n∈N*

根據等比數列性質得出p、q、r的關系方程，研究方程的解的情況作出判斷．

解答：解：（1）由①得，二次函數有最小值0，故

4c-b2

4

=0（2分）
二次函數的對稱軸為直線x=1，故-

b

2

=1，（4分）
即b=-2，c=1f（x）=x²-2x+1
（6分）
（2）S_n=n²-2n+1（n∈N^*）∴an=

0 2n-3

n=1 n≥2，n∈N*

（2分）
∴bn=

2+ 2 2n-1+ 2

n=1 n≥2，n∈N*

（4分）
設數列的p、q、r（p＜q＜r）項使得b_p、b_q、b_r成等比數列．
（ⅰ）若p=1時，b1=2+

2

bq=(2q-1)+

2

，br=(2r-1)+

2

則b_q²=b₁•b_r∴[(2q-1)+

2

]2=(2+

2

)[(2r-1)+

2

]∴(2q-1)2+2+2

2

(2q-1)=2(2r-1)+2+(2r-1)•

2

+2

2

∴

(2q-1)2+2=4r-2+2 2(2q-1)=2r-1+2

⇒

(2q-1)2+2=4r 4q-2=2r+1

①②
由于②式左邊為偶數，右邊為奇數，顯然q、r不存在．                  （3分）
（ⅱ）若1＜p＜r＜q，p、q、r∈N^*
則[(2q-1)+

2

]2=(2p-1+

2

)(2r-1+

2

)∴(2q-1)2+2+2

2

(2q-1)=(2p-1)(2r-1)+2+(2p-1+2r-1)

2

∴

(2q-1)2=(2q-1)(2r-1) 2(2q-1)=2p+2r-2

⇒p+r=2q⇒（p+r-1）²=（2p-1）（2r-1）⇒（p-r）²=0
∴p=r產生矛盾                                                       （7分）
綜上所述，這樣的三項不存在．                                          （8分）

點評：本題考查二次函數的性質，等比數列的定義，考查分析解決問題、分類討論、計算等能力．