Question

【題目】請解答以下問題，要求解決兩個問題的方法不同.

（1）如圖1，要在一個半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形，如何截取？并求出這個最大矩形的面積.

（2）如圖2，要在一個長半軸為2米，短半軸為1米的半個橢圓鐵板中截取一塊面積最大的矩形，如何截取？并求出這個最大矩形的面積.

Answer 1

【答案】（1），面積最大為1（2），，面積最大值為2

【解析】

（1）通過設出∠BOC＝α，進而用α表示出OB，BC；最后表示出S利用三角函數即可求解；

（2）通過設出點C的坐標（m，n），進而表示出OB＝m，BC＝n，S＝2mn；再利用點C為橢圓上的點，即滿足其方程利用基本不等式求解即可；

（1）設∠BOC＝α，（）；

∴OB＝cosα，BC＝sinα；

∵S＝2OBBC，

∴S═2sinαcosα＝sin2α；

∴當時，即OA時，矩形面積最大為1；

（2）依題意可得：橢圓方程為：；

設：點C坐標為（m，n）即：OB＝m，BC＝n；

∴S＝2OBBC＝2mn；

∵點C為橢圓上的點；

∴；

∵；

∴mn≤1，當且僅當時取等號；

∴S≤2；即矩形面積最大為2；當OB，即時取等號；