Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）證明：，都有；

（2）若函數(shù)有且只有一個零點，求的極值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）時，的極大值為e1，極小值為0．

【解析】

（1）令，求導得，利用導數(shù)判斷出的單調(diào)性，

從而求出的最大值，最大值小于0，則命題得證；

（2）由得，兩邊同時取對數(shù)整理得，則的零點

個數(shù)等于解的個數(shù)，令，求導，求出，得出

，令，求導，借助的單調(diào)性得

出的符號，從而求出極值.

（1）證明：令，則，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以的最大值為，即，

所以，都有．

（2）解：由得，則，所以，

所以的零點個數(shù)等于方程解的個數(shù)，

令，則，且，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，

且由（1）知，，則當時，，

所以時，有且只有一個解，

所以若函數(shù)有且只有一個零點，則，此時，

∴，

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

所以當時，，當時，，當時，，

∴當時，，則，則，

同理可得：當時，；當時，；

所以和分別是函數(shù)的極大值點和極小值點．

所以時，的極大值為e1，極小值為0．