【題目】已知
，
.
（1）當
時，求
在
處的切線方程；
（2）當
時，若對任意的
，都存在
，使得
成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）將
代入，可得函數解析式，再代入
可得切點坐標；求得導函數，并由導數的幾何意義求得切線斜率，進而得切線方程.
（2）將所給方程變形可得
；可得
在
內的單調性，進而求得值域，即可求得
的值域；構造函數
，求得
，由定義域及
分類討論
的單調情況，并求得最值即可求得符合題意的
的取值范圍.
（1）當時，
，
；所以切點坐標為
，
而
，
所以
；
∴切線方程為
.
化簡可得.
（2）
，所以，
對于
，在
上單調遞減，
上單調遞增，
∴時，
，
或2時，
，
∴當
時，
.
令，
對任意的
，都存在
，成立，
所以的值域是
的子集，
，
①
時，
在上單調遞增，
∴
，
，解得
.
②
時，在
上單調遞減，
上單調遞增，
∵
，恒成立，
下面證明
恒成立.
令
，
，解得
.
∴
在上單調遞增，
恒成立，
∴.
③
時，在單調遞減，
∴，
，
解得.
綜上所述.
名校通行證有效作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
的參數方程為
（
為參數），設直線
的極坐標方程為
.
（1）將曲線的參數方程化為普通方程，并指出其曲線是什么曲線；
（2）設直線與
軸的交點為
為曲線上一動點，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸、3x噸．
(1)求y關于x的函數；
(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知從境外回國的8位同胞中有1位被新冠肺炎病毒感染，需要通過核酸檢測是否呈陽性來確定是否被感染.下面是兩種檢測方案：
方案一：逐個檢測，直到能確定被感染者為止.
方案二：將8位同胞平均分為2組，將每組成員的核酸混合在一起后隨機抽取一組進行檢測，若檢測呈陽性，則表明被感染者在這4位當中，然后逐個檢測，直到確定被感染者為止；若檢測呈陰性，則在另外一組中逐個進行檢測，直到確定被感染者為止.
（1）根據方案一，求檢測次數不多于兩次的概率；
（2）若每次核酸檢測費用都是100元，設方案二所需檢測費用為
，求的分布列與數學期望
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】判斷下列命題是否正確，請說明理由：
（1）若向量
與
同向，且
，則
；
（2）若向
，則 與的長度相等且方向相同或相反；
（3）對于任意向量，若 與的方向相同，則 =；
（4）由于
方向不確定，故 不與任意向量平行；
（5）向量 與平行，則向量 與方向相同或相反．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，橢圓
的極坐標方程為
，其左焦點
在直線上.
（1）若直線與橢圓交于
兩點，求
的值；
（2）求橢圓的內接矩形面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，平面
平面
，底面為梯形，
，
且
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）若M是棱PA的中點，求證：對于棱BC上任意一點F，MF與PC都不平行.
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