Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，橢圓的極坐標方程為，其左焦點在直線上.

（1）若直線與橢圓交于兩點，求的值；

（2）求橢圓的內接矩形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）將參數方程化為直角坐標方程可得F的坐標為（，0），聯立直線的參數方程與橢圓方程，結合參數的幾何意義計算可得．

（2）結合橢圓方程，設橢圓C上在第一象限內的任意一點M的坐標為（，4sinθ）（），據此可得內接矩形關于的面積函數，結合三角函數的性質即可確定面積S取得最大值.

（1）將代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，

得x2＋3y2＝48，即，

因為c2＝48－16＝32，所以F的坐標為（，0），

又因為F在直線l上，所以．

把直線l的參數方程代入x2＋3y2＝48，

化簡得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，

所以．

（2）由橢圓C的方程，可設橢圓C上在第一象限內的任意一點M的坐標為（，4sinθ）（），

所以內接矩形的面積，

當時，面積S取得最大值．