Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．已知曲線C1： （t為參數），C2： （θ為參數）．
（1）化C1 ， C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C1上的點P對應的參數為t= ，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1： （t為參數），化為（x+4）2+（y﹣3）2=1，

∴C1為圓心是（﹣4，3），半徑是1的圓．

C2： （θ為參數），化為 ．

C2為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓．

（2）解：當t= 時，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M ，

直線C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化為x﹣2y=7，

M到C3的距離d= = |5sin（θ+φ）+13|，

從而當cossinθ= ，sinθ=﹣ 時，d取得最小值

【解析】（1）曲線C1： （t為參數），利用sin2t+cos2t=1即可化為普通方程；C2： （θ為參數），利用cos2θ+sin2θ=1化為普通方程．（2）當t= 時，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M ，直線C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化為x﹣2y=7，利用點到直線的距離公式與三角函數的單調性即可得出．