Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F與圓的圓心重合.

（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)定點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在C上何處時(shí)，的值最小，并求最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若弦過(guò)焦點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4（3）1，

【解析】分析：（1）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得拋物線(xiàn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為點(diǎn)，根據(jù)拋物線(xiàn)定義知,要使的值最小，必三點(diǎn)共線(xiàn)，從而可得結(jié)果；（3），設(shè) ， ，根據(jù)焦半徑公式可得 ，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

詳解：（1）由已知易得，

則求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程C為.

（2）設(shè)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上的攝影為點(diǎn)B，

根據(jù)拋物線(xiàn)定義知

要使的值最小，必三點(diǎn)共線(xiàn).

可得，.即

此時(shí).

（3），設(shè)

.