Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦點到相應準線的距離為，，分別為橢圓的左頂點和下頂點，為橢圓上位于第一象限內的一點，交軸于點，交軸于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求的值；

（3）求證：四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)見解析.

【解析】分析：（1）直接根據原題得到，，解方程組即得橢圓的標準方程.(2)先求出，再求的值.(3) 設，先求出四邊形的面積，再化簡得到四邊形的面積為定值.

詳解：（1）設右焦點，因為橢圓的離心率為，所以，①

又因為右焦點到右準線的距離為，所以，②

由①②得，，，，

所以橢圓的標準方程是.

（2）因為，所以，直線的方程為，

由，得，解得（舍）或，

可得，

直線的方程為，令，得，

所以.

（3）設，則，即.

直線的方程為，令，得.

直線的方程為，令，得.

所以四邊形的面積

為定值.