Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA= ．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若E是PA的中點，求三棱錐P﹣BCE的體積．

Answer 1

【答案】證明：（I）連接AC交BD于O點，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，O是BD的中點，
∵PB=PD，∴PO⊥BD，
又AC∩OP=O，AC平面PAC，OP平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又PC平面PAC，
∴BD⊥PC．
（II）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BD=AB=AD=2，∴OB=1，OA= ，
∴OP= = ，∴OA2+OP2=PA2 ， 即OA⊥OP．
∴S△PCE= S△PAC=S△POA= × = ．
∴又OB⊥平面PAC，
∴VP﹣BCE=VB﹣PCE= S△PCEOB= ×1= ．
【解析】（I）連接AC交BD于O點，由BD⊥AC，BD⊥OP得出BD⊥平面PAC，故PC⊥BD；（II）利用勾股定理計算OA，OP，證明OA⊥OP，得出三角形PCE的面積，于是VP﹣BCE=VB﹣PCE= S△PCEOP．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．