Question

二階矩陣M有特征值λ=6，其對應的一個特征向量

e

=

1 1

，并且矩陣M對應的變換將點（1，2）變換成點（8，4）．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求矩陣M的另一個特征值及對應的一個特征向量．

Answer 1

考點：幾種特殊的矩陣變換

專題：計算題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）先設M=

a b c d

，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=6及對應的一個特征向量及矩陣M對應的變換將點（1，2）變換成點（8，4），得到關于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-4）（λ-2）-8=λ²-2λ+24，從而求得另一個特征值及對應的一個特征向量．

解答： 解：（Ⅰ）設M=

a b c d

，則由

a b c d

1 1

=6

1 1

得

a+b c+d

=

6 6

，
即a+b=c+d=6．                                                …（1分）
由

a b c d

1 2

=

8 4

，得

a+2b c+2d

=

8 4

，從而a+2b=8，c+2d=4．       …（2分）
由a+b=6及a+2b=8，解得a=4，b=2；
由c+d=6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，
所以M=

4  2 8 -2

；…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知矩陣M的特征多項式為f(λ)=

.

λ-4 -2 -8 λ+2

.

=(λ-4)(λ+2)-16=λ2-2λ-24…（4分）
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為6與-4．                      …（5分）
當λ=-4時，

(λ-4)x-2y=0 -8x+(λ+2)y=0

⇒4x+y=0
故矩陣M的屬于另一個特征值-4的一個特征向量為

1 -4

．        …（6分）

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，屬于基礎題．