Question

已知函數f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x
（1）如果x∈[1，2]，求函數h（x）=[f（x）+1]g（x）的值域；
（2）求函數M（x）=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

的最大值．
（3）如果對任意x∈[1，2]，不等式f（x²）f（

x

）＞k•g（x）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令t=log₂x，則h（x）=-2（t-1）²+2．由x∈[1，2]，可得t∈[0，1]，再利用二次函數的性質求得h（x）的值域．
（2）根據函數M（x）=

g(x)  ，f(x)≥g(x) f(x)  ，f(x)＜g(x)

，f（x）-g（x）=3（1-log₂x），分類討論求得M（x）的最大值．
（3）由題意可得（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x，根據t∈[0，1]，可得（3-4t）（3-t）＞kt對一切t∈[0，1]恒成立．再分①當t=0和②當t∈[0，1]兩種情況，求得k的取值范圍．

解答： 解：（1）令t=log₂x，則f（x）=3-t，g（x）=t，
h（x）=（4-2log₂x）•log₂x=-2（t-1）²+2．
∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，
故當t=1時，h（x）取得最大值為2，當t=2時，函數取得最小值為0，
∴h（x）的值域為[0，2]．
（2）函數M（x）=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

=

g(x)  ，f(x)≥g(x) f(x)  ，f(x)＜g(x)

，
∵f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
∴當x∈（0，2]時，f（x）≥g（x） M（x）=log₂x．
當x∈（2，+∞）時，f（x）＜g（x） M（x）=3-2log₂x．
即M（x）=

log2x  ，0＜x≤2 3-2log2x ， x＞2

．
當0＜x≤2時，M（x）最大值為1；當x＞2時，M（x）＜1．
綜上：當x=2時，M（x）取到最大值為1．
（3）∵對任意x∈[1，2]，不等式f（x²）f（

x

）＞k•g（x）恒成立，
即（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x，
∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，∴（3-4t）（3-t）＞kt對一切t∈[0，1]恒成立．
①當t=0時k∈R．
②當t∈[0，1]，k＜

9

t

+4t-15，∵h（t）=

9

t

+4t-15在（0，1]上是減函數，
∴h（t）_min=-2，（t=1時），∴k＜-2．
綜述，k的取值范圍為（-∞，-2）．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，函數的恒成立問題，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．