Question

設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點坐標為（a_n，0）．
（Ⅰ）求a_n的表達式；
（Ⅱ）設b_n=

1-an+n•2n

n

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，根據導數的幾何意義，即可求a_n的表達式；
（Ⅱ）求出b_n=

1-an+n•2n

n

的表達式，利用分組求和和裂項法即可求數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵y=xⁿ⁺¹，
∴y′=（n+1）xⁿ，函數在點（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
令y=0，解得an=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（Ⅱ）b_n=

1-an+n•2n

n

=

1

n(n+1)

+2n=

1

n

-

1

n+1

+2ⁿ，
則數列{b_n}的前n項和S_n=（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）+（2+2²+…+2ⁿ）
=1-

1

n+1

+

2•(1-2n)

1-2

=

n

n+1

+2n+1-2=2n+1-

n+2

n+1

．

點評：本題主要考查導數的概念及其幾何意義，考查了數列的概念和裂項求和及等比數列求和方法；考查運算求解的能力以及化歸與轉化的思想．