【題目】棱長為
的正四面體
的外接球與內切球的半徑之和為______，內切球球面上有一動點
，則
的最小值為______.
【答案】
【解析】
(1)將正四面體
放入正方體可求得外接球半徑,利用等體積法可求得內切球的半徑.
(2)根據阿波羅尼斯球的性質找到阿波羅尼斯球中的兩個定點,再將
轉換,從而得出
取最小值時的線段,再根據余弦定理求解即可.
(1) 將正四面體放入如圖正方體,則正四面體的外接球與該正方體的外接球為同一球.半徑為
.
設正四面體的內切球半徑為
,根據等體積法有
,解得
.
故外接球與內切球的半徑之和為
.
(2)由阿波羅尼斯球得內切球球心
是線段
上以
為定點,空間中滿足
的點
的集合,連接
并延長交平面
于
,交內切球上方的點設為
,過
作
,交
于
,連接
,設
.
由(1)空得
.
所以
,解得
,
,
所以
,所以
.
所以
,
在
中,
,
,
,
所以
.
所以的最小值為
故答案為：(1)；(2)
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定點
（
為正常數）,
為
軸負半軸上的一個動點,動點
滿足
,且線段
的中點在
軸上.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）設
為曲線的一條動弦（不垂直于軸）.其垂直平分線與軸交于點
.當
時,求
的最大值.
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【題目】已知橢圓C：
（
）的離心率為
，過右焦點且垂直于長軸的直線與橢圓C交于P，Q兩點，且
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B是橢圓C上的兩個不同點，若直線
，
的斜率之積為
（以O為坐標原點），M是的中點，連接
并延長交橢圓C于點N，求
的值.
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【題目】函數
和
都是定義在
上的單調減函數，且
，若對于任意
，存在
，
，使得
成立，則稱是在上的“被追逐函數”，若
，下述四個結論中正確的是（ ）
①
是在
上的“被追逐函數”；
②若和函數
關于
軸對稱，則是在上的“被追逐函數”；
③若
是在上的“被追逐函數”，則
；
④存在
，使得
是在上的“被追逐函數”.
A.①③④B.①②④C.②③D.①③
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【題目】已知函數
，其中
，
，
為自然對數的底數.
若
，
，①若函數
單調遞增，求實數
的取值范圍；②若對任意
，
恒成立，求實數的取值范圍.
若
，且存在兩個極值點
，
，求證：
.
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【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長為2,側棱長為2
,過點A作一個與側棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
(
，
).
（1）當
時，若函數
在
上有兩個零點，求
的取值范圍；
（2）當
時，是否存在，使得不等式
恒成立？若存在，求出
的取值集合；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
，（θ為參數），以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲線C上任意一點，求△ABM面積的最小值．
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