Question

【題目】已知定點（為正常數）,為軸負半軸上的一個動點,動點滿足,且線段的中點在軸上.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設為曲線的一條動弦（不垂直于軸）.其垂直平分線與軸交于點.當時,求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）6

【解析】

(1)設,進而求得的坐標,再根據三角形的性質可得即可得滿足的方程,化簡即可.

(2)由(1)以及可得軌跡的方程為,再設弦所在直線方程為,,,聯立直線與拋物線的方程,利用韋達定理求得的中點,進而求得線段的垂直平分線的方程,代入得到,再根據弦長公式求解,代入利用二次不等式的最值求解即可.

解：（1）設,則的中點的坐標為,.

又,故.

由題意知,所以,即,所以.

因為點不能在軸上,故曲線的方程為.

（2）設弦所在直線方程為,,.

由得.①

則,,則線段的中點為,

即.

線段的垂直平分線的方程為.

令,,得.得.

所以

由①,

.

得,即.

所以,當,即時,取得最大值,最大值等于36,即的最大值為6.