Question

【題目】已知函數，其中，，為自然對數的底數.

若，，①若函數單調遞增，求實數的取值范圍；②若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.

若，且存在兩個極值點，，求證：.

Answer 1

【答案】①；②；證明見解析.

【解析】

①問題等價于在上恒成立，即對任意恒成立，由此得解；②分及討論，容易得出結論；

解法一：表示出，令，求導后易證；令，，利用導數可證，進而得證；解法二：不等式的右邊同解法一；由當時，可得，由此得出

，可得證.

解：①因為單調遞增，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，

，即；

②由①當時，單調遞增，故成立，符合題意，

當時，令得，

在上遞減，不合題意；

綜上，實數的取值范圍為.

解法一：因為，存在兩個極值點，，

所以有兩個不同的解，故，又，所以，

設兩根為，，則，，故，

令，因為，所以在上遞增，所以；

又

令，，則，

令得，又，則，

即，記為，則在上遞增，在上遞減，

又，，所以，即，綜上：.

解法二：不等式的右邊同解法一；

由當時，恒成立，所以有當時，，所以

.