Question

【題目】已知函數(，).

（1）當時，若函數在上有兩個零點，求的取值范圍；

（2）當時，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，的取值集合為.

【解析】

（1）將代入，求得函數的導數，當時顯然不成立，當時，利用零點的存在定理，即可求解的結論；

（2）當時，設，由，進而條件轉化為不等式對恒成立，得到是函數的最大值，也是函數的極大值，故，當時，利用導數得到不等式恒成立，即可求解.

（1）當時，，()，

當時，，在上單調遞增，不合題意，舍去；

當時，，，

進而在上單調遞增，在上單調遞減，

依題意有，，，解得，

又，且，在上單調遞增，

進而由零點存在定理可知，函數在上存在唯一零點；

下面先證()恒成立，令，則，

當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增，

進而，∴，∴，

可得，

若，得，

因為，則，即當時，取，有，

即存在使得，

進而由零點存在定理可知在上存在唯一零點；

（2）當時，存在，使得不等式恒成立.

證明如下：

當時，設，則，

依題意，函數恒成立，

又由，進而條件轉化為不等式對恒成立，

所以是函數的最大值，也是函數的極大值，故，解得.

當時，()，

令可得，令可得.

故在上遞增，在上遞減.

因此，即不等式恒成立.

綜上，存在且的取值集合為.