Question

【題目】海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100 個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg），其頻率分布直方圖如圖：

（Ⅰ）設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件“舊養殖法的箱產量低于50kg，新養殖法的箱產量不低于50kg”，估計A的概率；
（Ⅱ）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關：

	箱產量＜50kg	箱產量≥50kg
舊養殖法
新養殖法

（Ⅲ）根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養殖法箱產量的中位數的估計值（精確到0.01）．
附：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

K2= ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）記B表示事件“舊養殖法的箱產量低于50kg”，C表示事件“新養殖法的箱產量不低于50kg”，
由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），
則舊養殖法的箱產量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，
故P（B）的估計值0.62，
新養殖法的箱產量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，
故P（C）的估計值為，
則事件A的概率估計值為P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；
∴A發生的概率為0.4092；
（Ⅱ）2×2列聯表：

	箱產量＜50kg	箱產量≥50kg	總計
舊養殖法	62	38	100
新養殖法	34	66	100
總計	96	104	200

則K2= ≈15.705，
由15.705＞6.635，
∴有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關；
（Ⅲ）由題意可知：方法一： =5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），
=5×10.47，
=52.35（kg）．
新養殖法箱產量的中位數的估計值52.35（kg）
方法二：由新養殖法的箱產量頻率分布直方圖中，箱產量低于50kg的直方圖的面積：
（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，
箱產量低于55kg的直方圖面積為：
（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，
故新養殖法產量的中位數的估計值為：50+ ≈52.35（kg），
所以新養殖法箱產量的中位數的估計值52.35（kg）．
【解析】（Ⅰ）由題意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得發生的頻率，即可求得其概率；
（Ⅱ）完成2×2列聯表：求得觀測值，與參考值比較，即可求得有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關：
（Ⅲ）根據頻率分布直方圖即可求得其平均數．
【考點精析】通過靈活運用頻率分布直方圖和用樣本的數字特征估計總體的數字特征，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差．在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的即可以解答此題．