Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2﹣12x+32=0的圓心為Q，過點(diǎn)P（0，2）且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在常數(shù)k，使得向量 與 共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓的方程可寫成（x﹣6）2+y2=4，所以圓心為Q（6，0），過P（0，2）

且斜率為k的直線方程為y=kx+2．

代入圓方程得x2+（kx+2）2﹣12x+32=0，

整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0． ①

直線與圓交于兩個不同的點(diǎn)A，B等價(jià)于△=[4（k﹣3）2]﹣4×36（1+k2）=42（﹣8k2﹣6k）＞0，

解得 ，即k的取值范圍為 ．

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 ，

由方程①， ②

又y1+y2=k（x1+x2）+4． ③

而 ．

所以 與 共線等價(jià)于（x1+x2）=﹣3（y1+y2），

將②③代入上式，解得 ．

由（1）知 ，故沒有符合題意的常數(shù)k

【解析】（1）先把圓的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得圓心，設(shè)出直線方程代入圓方程整理后，根據(jù)判別式大于0求得k 的范圍，（2）A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根據(jù)（1）中的方程和韋達(dá)定理可求得x1+x2的表達(dá)式，根據(jù)直線方程可求得y1+y2的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)以 與 共線可推知（x1+x2）=﹣3（y1+y2），進(jìn)而求得k，根據(jù)（1）k的范圍可知，k不符合題意．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解向量的共線定理的相關(guān)知識，掌握設(shè)，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時，向量、共線．