Question

【題目】已知橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為，短軸長為，直線與橢圓C交于M、N兩點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線與圓相切，證明：為定值

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）根據橢圓的有關知識可得，從而可得橢圓的方程；

（2）分直線的斜率存在與否兩種情況求解．①當的斜率不存在時，其方程為，可得、的坐標，由向量的數量積可得；②當的斜率存在時，設其方程為，由直線與圓相切得．然后將直線方程與橢圓方程聯立、消元，根據根與系數的關系由數量積可得，從而可得．綜上可得為定值．

（1）由題意得，

∴橢圓的方程為

（2）①當直線的斜率不存在時，因為直線與圓相切，所以直線方程為．

當時，可得M、N兩點坐標分別為，

，.

當時，同理可得；

②當的斜率存在時，設，

由題意得，，

由，消去整理得，

∵直線與圓相交，∴

設，則，，

，

.

綜上（定值） ．