Question

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.為曲線上的動點，點在射線上，且滿足.

（Ⅰ）求點的軌跡的直角坐標方程；

（Ⅱ）設與軸交于點，過點且傾斜角為的直線與相交于兩點，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）首先依據動點的極坐標的關系找到點的極坐標方程，再化為直角坐標方程；（Ⅱ）首先根據條件確定直線的參數方程，依據參數的幾何意義，結合解方程，利用韋達定理得到解.

（Ⅰ）設的極坐標為，的極坐標為，

由題設知.所以，

即的極坐標方程，所以的直角坐標方程為.

（Ⅱ）交點，所以直線的參數方程為（為參數），

曲線的直角坐標方程，

代入得：，，

設方程兩根為，則分別是對應的參數，

所以.