Question

【題目】如圖，平面四邊形ABCD中，AC與BD交于點P，若3BP＝BD，AB＝ADBC，，則_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

延長BC到E，使得BE＝3BC，連結DE，結合已知得3，由相似三角形性質得P是BD的三等分點，且AP＝PC，分別過A，C作BD的垂線，垂足為N，M，PM＝PN＝BM，得BC＝PC，過C作CF//AD交DE于F，則四邊形ACFD是平行四邊形，設BC＝1，計算出各線段長，可得CF⊥DE，四邊形ACFD是矩形，這樣可計算出，得所求比值．

延長BC到E，使得BE＝3BC，連結DE，

則3，又33，

∴3，

∴DE//AC，DE＝3AP.

∴，

∴，

∴P是BD的三等分點，且AP＝PC.

分別過A，C作BD的垂線，垂足為N，M， ∵，

∴PM＝PN＝BM，

∴BC＝PC，

過C作CF//AD交DE于F，則四邊形ACFD是平行四邊形，

設BC＝1，則AB＝AD，CE＝2BC＝2，CF＝AD，DE＝3PC＝3，

∴EFDE＝1，

∴CE2＝CF2+EF2，∴CF⊥DE，

∴四邊形ACFD是矩形，∴∠CAD，

∴CD，

∴.

故答案為：.