Question

已知點M在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形．
（1）求橢圓的方程和圓M的方程．
（2）若點D的坐標為（0，3），M、N是橢圓上的兩個動點，且

DM

=λ

DN

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意，應該先設出點M的坐標及圓的半徑，利用題中的條件建立方程求出圓的半徑與a，b的關系，進而求解出橢圓的方程；
（2）設N（s，t），M（x，y），則由

DM

=λ

DN

，可得x=λs，y=3+λ （t-3），利用M、N在曲線C上，可得t=

5λ-1

2λ

，結合|t|≤

6

，即可求實數λ的取值范圍．

解答： 解：（1）設M（x₀，y₀），圓M的半徑為r．
因為橢圓的右焦點的坐標為（c，0），圓M與x軸相切于點F，
所以MF⊥x軸，所以x₀=c，r=|y₀|①
因為點M在橢圓上，所以

x02

a2

+

y02

b2

=1
將上式代入，結合a²-c²=b²，
可得r=

b2

a

②
因為△ABM是邊長為2的正三角形，所以圓M的半徑r=2，
所以

b2

a

=2，d=c=

3

又因為a²-b²=c²
從而有a²-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）
所以b²=2a=6
所求橢圓方程是：

x2

9

+

y2

6

=1；
（2）設N（s，t），M（x，y），則由

DM

=λ

DN

，
可得（x，y-3）=λ （s，t-3）．
故x=λs，y=3+λ （t-3）．
∵M、N在曲線C上，
∴

s2

9

+

t2

6

=1，

λ2s2

9

+

(3+λt-3λ)2

6

=1
由題意知λ≠0，且λ≠1，消去s，
解得t=

5λ-1

2λ

又|t|≤

6

，
∴|

5λ-1

2λ

|≤

6

．
解得5-2

6

≤λ≤5+2

6

（λ≠1）．
故實數λ的取值范圍是5-2

6

≤λ≤5+2

6

（λ≠1）．

點評：此問重點考查了利用方程的思想先設出變量在利用條件進行建立方程求解，還考查了橢圓的基本性質和學生的運算能力，考查化歸與轉化思想，綜合性強．