Question

某集團投資興建了甲、乙兩個企業，2012年年底該集團從甲企業獲得利潤160萬元，從乙企業獲得利潤369萬元．以后每年上交的利潤是：甲企業為上一年利潤的1.5倍，而乙企業則為上一年利潤的

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．若以2012年為第一年計算．
（1）該集團從上述兩個企業獲得利潤最少的一年是那一年，最少利潤是多少？
（2）試估算2020年底，該集團從上述兩個企業獲得利潤能否突破4050萬元？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,不等式的解法及應用

分析：（1）若以2012年為第一年，根據甲企業為上一年利潤的1.5倍，而乙企業則為上一年利潤的

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，則第n年該鄉從這兩家企業獲得的利潤為y_n=160×(

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)n-1+360×(

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)n-1，利用基本不等式可求兩個企業獲得利潤最少的一年；
（2）2020年為第9年，該年可從兩個企業獲得利潤y₉=160×(

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)8+360×(

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)8，利用基本不等式可知y₉＞4050，從而可知該鄉到2020年底兩個企業獲得利潤能否突破4050萬元．

解答： 解：（1）若以2012年為第一年，則
∵甲企業為上一年利潤的1.5倍，而乙企業則為上一年利潤的

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，
∴第n年該鄉從這兩家企業獲得的利潤為y_n=160×(

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)n-1+360×(

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)n-1≥2×40×

4×( 3 2 )n-1×9×( 2 3 )n-1

=2×40×6=480
當且僅當4×(

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)n-1=9×(

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)n-1，即n=2時，等號成立，
所以第二年（2013年）上交利潤最少，利潤為480萬元；
（2）2020年為第9年，該年可從兩個企業獲得利潤y₉=160×(

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)8+360×(

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)8＞160×(

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)8＞81×50=4050，
所以該鄉到2020年底兩個企業獲得利潤能否突破4050萬元．

點評：本題考查的重點是解決實際問題，解題的關鍵是構建函數模型，利用基本不等式解決最值問題，屬于中檔題．