Question

【題目】已知稱為，的二維平方平均數，稱為，的二維算術平均數，稱為，的二維幾何平均數，稱為，的二維調和平均數，其中，均為正數.

（1）試判斷與的大小，并證明你的猜想.

（2）令，，試判斷與的大小，并證明你的猜想.

（3）令，，，試判斷、、三者之間的大小關系，并證明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）用分析法結合基本不等式即可證得．（2） 用分析法結合基本不等式即可證得．（3）先證再證,均采用分析法結合基本不等式進行證明．

試題解析：解：（Ⅰ），采用分析法。欲證，即證，即證，即證，上式顯然成立。

（Ⅱ）。欲證，即證，由均值不等式可得：

，等號成立的條件是，所以原命題成立．

（Ⅲ）。首先證明：欲證，即證，即證，即證，即證，即證，上式顯然成立，等號成立的條件是，故．

再證：欲證，即證，即證，當時，上式顯然成立，當時，即證，而此式子在證明已經成功證明，所以原命題成立。