Question

【題目】雙曲線x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 直線l過F2且與雙曲線交于A，B兩點．
（1）直線l的傾斜角為 ，△F1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
（2）設b= ，若l的斜率存在，且（ + ） =0，求l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：雙曲線x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，a=1，c2=1+b2，

直線l過F2且與雙曲線交于A，B兩點，

直線l的傾斜角為 ，△F1AB是等邊三角形，

可得：A（c，b2），可得： ，

3b4=4（a2+b2），

即3b4﹣4b2﹣4=0，

b＞0，解得b2=2．

所求雙曲線方程為：x2﹣ =1，

其漸近線方程為y=± x

（2）解：b= ，雙曲線x2﹣ =1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．

設A（x1，y1），B（x2，y2），直線的斜率為：k= ，

直線l的方程為：y=k（x﹣2），

由題意可得： ，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，

△=36（1+k2）＞0，

可得x1+x2= ，

則y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（ ﹣4）= ．

=（x1+2，y1），

=（x2+2，y2），

（ + ） =0可得：（x1+x2+4，y1+y2）（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，

可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，

得 +4+ k=0

可得：k2= ，

解得k=± img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/02/11/05/40d23035/SYS201702110503548573774059_DA/SYS201702110503548573774059_DA.016.png" width="22" height="34" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ．

l的斜率為：±

【解析】（1）利用直線的傾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到雙曲線方程．（2）求出左焦點的坐標，設出直線方程，推出A、B坐標，利用向量的數量積為0，即可求值直線的斜率．