Question

【題目】近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，先隨機抽取了該市三類垃圾箱總計1000噸生活垃圾，數據統計如下（單位：噸）；

	“廚余垃圾”箱	“可回收物”箱	“其他垃圾”箱
廚余垃圾	400	100	100
可回收物	30	240	30
其他垃圾	20	20	60

（1）試估計廚余垃圾投放正確的概率；
（2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；
（3）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．當數據a，b，c的方差s2最大時，寫出a，b，c的值（結論不要求證明），并求此時s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 為數據x1 ， x2 ， …，xn的平均數）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾”箱400噸，故廚余垃圾投放正確的概率為
（2）解：由題意可知：生活垃圾投放錯誤有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放錯誤的概率為
（3）解：由題意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均數為200

∴ = ，

∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有當a=600，b=0，c=0時，有s2=80000

【解析】（1）廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾”箱400噸，故可求廚余垃圾投放正確的概率；（2）生活垃圾投放錯誤有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放錯誤的概率；（3）計算方差可得 = ，因此有當a=600，b=0，c=0時，有s2=80000．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解極差、方差與標準差的相關知識，掌握標準差和方差越大，數據的離散程度越大；標準差和方程為0時，樣本各數據全相等，數據沒有離散性；方差與原始數據單位不同，解決實際問題時，多采用標準差．