Question

【題目】已知函數f（x）=loga （a＞0且a≠1）是奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）判斷函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性并說明理由；
（3）當x∈（n，a﹣2）時，函數f（x）的值域為（1，+∞），求實數n，a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，函數f（x）=loga （a＞0且a≠1）是奇函數，

則有f（x）+f（﹣x）=0，

即loga +loga =0，

則有loga（ ）（ ）=0，

即（ ）（ ）=1，

解可得：m=±1，

當m=1時，f（x）=loga ，沒有意義，

故m=﹣1

（2）解：由（1）可得：m=﹣1，即f（x）=loga ，

設x1＞x2＞1，

f（x1）﹣f（x2）=loga ﹣loga =loga =loga（ ），

又由x1＞x2＞1，

則0＜ ＜1，

當a＞1時，f（x1）﹣f（x2）＜0，則函數f（x）為減函數，

當0＜a＜1時，f（x1）﹣f（x2）＞0，則函數f（x）為增函數

（3）解：由（1）可得：m=﹣1，即f（x）=loga ，

其定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

當n＜a﹣2＜﹣1時，有0＜a＜1，

此時函數f（x）為增函數，有 ，無解；

當1＜n＜a﹣2時，有a﹣2＞1，即a＞3，

此時函數f（x）為減函數，有 ，解可得a=2+ ；

故n=1，a=2+

【解析】（1）根據題意，由函數奇偶性的性質可得f（x）+f（﹣x）=0，即loga +loga =0，結合對數的運算性質可得（ ）（ ）=1，解可得m的值，驗證即可得答案；（2）由（1）可得函數的解析式，設x1＞x2＞1，結合對數的運算性質可得f（x1）﹣f（x2）=loga（ ），分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論f（x1）﹣f（x2）的符號，綜合可得答案；（3）由（1）可得函數的解析式，進而求出函數f（x）的定義域，分n＜a﹣2＜﹣1和1＜n＜a﹣2兩種情況討論，求出a、n的值，即可得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．