Question

【題目】平面直角坐標系 中，過橢圓 ： （ ）右焦點的直線 交 于 ， 兩點， 為 的中點，且 的斜率為 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ） ， 為 上的兩點，若四邊形 . 的對角線 ，求四邊形 面積的最大值.

Answer 1

【答案】解：(Ι)設 則 ， ，（1）－（2）得：

， ，設 ，因為P為AB的中點，且OP的斜率為 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因為 ，所以 ，所以M的方程為 .

（Ⅱ）因為CD⊥AB，直線AB方程為 ，所以設直線CD方程為 ，

將 代入 得： ，即 、 ，所以可得

；將 代入 得： ，設 則

= ，又因為 ，即 ，所以當 時，|CD|取得最大值4，所以四邊形ACBD面積的最大值為

【解析】(1)利用“點差法”結合橢圓的方程M求出直線的斜率的代數式，因為直線的方程已知進而可求出焦點F的坐標，利用橢圓里a、b、c的關系聯立以上兩個方程即可求出a、b的值進而得到橢圓的方程。(2)根據題意聯立直線和橢圓的方程即可得出兩個點的坐標，再利用弦長公式以及兩點間的距離公式代入數值分別求出|AB|、|CD|的代數式，因為直線和橢圓有兩個交點所以聯立消元后的方程判別式大于零，因此求出m的取值范圍，然后把以上式子代入到四邊形的面積公式，結合二次函數的最值情況即可求出面積的最大值。