Question

【題目】已知四棱錐P－ABCD的體積為，其三視圖如圖所示，其中正視圖為等腰三角形，側視圖為直角三角形，俯視圖是直角梯形．

(1)求正視圖的面積；

(2)求四棱錐P－ABCD的側面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）根據四棱錐的體積得PA=，進而得正視圖的面積；

（2）過A作AE∥CD交BC于E，連接PE，確定四個側面積面積S△PAB，S△PAD， S△PCD， S△PBC求和即可.

試題解析：

(1) 如圖所示四棱錐P－ABCD的高為PA，底面積為S＝·CD＝×1＝

∴四棱錐P－ABCD的體積V四棱錐P－ABCD＝S·PA＝×·PA＝，∴PA=

∴正視圖的面積為S＝×2×＝.

(2)如圖所示，過A作AE∥CD交BC于E，連接PE.根據三視圖可知，E是BC的中點，

且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，且BC⊥AE，AB=

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD=，∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，

又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AE，

∴PE2＝PA2+AE2＝3.∴PE＝.

∴四棱錐P－ABCD的側面積為

S＝S△PAB+ S△PAD+ S△PCD+ S△PBC＝··+··1+·1·+·2·=.