Question

【題目】某造船公司年造船量是20艘,已知造船艘的產值函數為 (單位:萬元),成本函數為(單位:萬元),又在經濟學中,函數的邊際函數定義為.

(1)求利潤函數及邊際利潤函數.(提示:利潤=產值-成本)

(2)問年造船量安排多少艘時,可使公司造船的年利潤最大?

(3)求邊際利潤函數的單調遞減區間,并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么?

Answer 1

【答案】（1）且；（2）12；（3）且.

【解析】

（1）先根據利潤=產值-成本求P(x),再求邊際利潤函數.(2)利用導數求年造船量安排多少艘時,可使公司造船的年利潤最大.(3)利用二次函數求邊際利潤函數的單調遞減區間,并說明單調遞減在本題中的實際意義.

(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5(x∈N+,且1≤x≤20);

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N+,且1≤x≤19).

(2)P'(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9),

∵x>0,∴P'(x)=0時,x=12,

∴當0<x<12時,P'(x)>0,

當x>12時,P'(x)<0,∴x=12時,P(x)有最大值.

即年造船量安排12艘時,可使公司造船的年利潤最大.

(3)MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305.所以,當x≥1時,MP(x)是減函數,

所以單調減區間為[1,19],且x∈N+.

MP(x)是減函數的實際意義是:隨著產量的增加,每艘船的利潤與前一艘船的利潤比較,利潤在減少.