Question

若曲線y=sinx，x∈（-π，π）在點P處的切線平行于曲線y=

x

（

x

3

+1）在點Q處的切線，則直線PQ的斜率為（　　）

• A、

  3

  4

• B、1
• C、

  4

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：設出P和Q點的坐標，分別求出兩個函數的導函數，利用余弦函數的值域及不等式求最值得到兩個導函數的取值范圍，再由函數y=sinx（x∈（-π，π））圖象在點P處的切線與函數y=

x

（

x

3

+1）在點Q處的切線平行得到P，Q點的橫坐標，代入原函數求得P，Q的縱坐標，由兩點求斜率得答案．

解答： 解：設P（a，b），Q（m，n），
由y=sinx，得y′=cosx，
∵x∈（-π，π），
∴-1＜y′≤1．
由y=

x

（

x

3

+1），得y′=

1

2

(

x

+

1

x

)≥1．
∵函數y=sinx（x∈（-π，π））圖象在點P處的切線與函數y=

x

（

x

3

+1）在點Q處的切線平行，
∴cosa=

1

2

(

m

+

1

m

)=1．
∵a∈（-π，π），m＞0，
∴a=0，m=1，
∴b=sin0=0，n=

m

(

m

3

+1)=

4

3

．
∴直線PQ的斜率為：

4 3 -0

1-0

=

4

3

．
故選：C．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數最值，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．