Question

【題目】已知函數．

（1）若，證明：對任意，存在，使得；

（2）若恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）先要明確“對任意，存在，使得”表示的是在上，的值域是的值域的子集，再求兩個函數的值域即可證明；

（2）由不等式恒成立，整理得，由于在上，，因此考慮用分離參變量的方法解答此題，然后構造函數，求的最大值即可．

（1）當時，，

∴函數在上單調遞增，

∴，即，

∴的值域為．

∴，

∴函數在上單調遞增，

∴，即，

∴的值域為．

∵，

∴，

∴對任意，存在，使得．

（2）由得，

∵，∴，

整理得．

令，

則，

在上，，在上，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，

故．

令，則．

令，則

，

在上，，在上，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，

∴在上，，在上，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，∴，

即實數的取值范圍為．