Question

【題目】已知是等差數列的前n項和，，，是數列的前n項和，.

（1）求數列和的通項公式；

（2）設，數列的前n項和為，若只存在2個正整數n滿足，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由等差數列的通項公式和前n項和公式列方程可求出首項和公差，從而寫出數列的通項公式；由可得到數列的遞推關系式，構造數列，由等比數列的通項公式求出.（2）利用錯位相減法求出數列的前n項和，再判斷數列的增減性，根據題意得到結果.

解：（1）設等差數列的公差為d，

因為，，

所以，，

解得，.

因此數列的通項公式為.

由得，

當時，，；

當時，，

所以，

所以，，.

所以數列是以為首項，2為公比的等比數列，所以，

所以數列的通項公式為.

（2）由（1）知，

所以，

，

所以，

又，

所以.

，

所以數列是遞增的，

又，，，

所以，故實數的取值范圍為.