Question

【題目】極坐標系中橢圓C的方程為，以極點為原點，極軸為軸非負半軸，建立平面直角坐標系，且兩坐標系取相同的單位長度．

（Ⅰ）求該橢圓的直角標方程，若橢圓上任一點坐標為，求的取值范圍；

（Ⅱ）若橢圓的兩條弦，交于點，且直線與的傾斜角互補，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）將橢圓的極坐標方程化為直角坐標方程,即可設,,則,進而求解；

（Ⅱ）設直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,,將直線的參數方程代入橢圓的直角坐標方程中,由韋達定理可得,設、對應參數分別為、,則,同理可求得,即可得證.

(Ⅰ)由已知，，即，

所以該橢圓的直角坐標方程為,

設,,

所以,

所以的取值范圍是

（Ⅱ）證明:設直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,

則直線的參數方程為（為參數）,

代入得,

即,

設、對應參數分別為、,則,

同理,

所以