Question

【題目】已知拋物線C的頂點為坐標原點O，對稱軸為軸，其準線為.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設直線，對任意的拋物線C上都存在四個點到直線l的距離為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據準線方程形式設拋物線標準方程，再根據數值求得，即得拋物線方程；

（2）先根據確定，再借助切線轉化條件，即,點到拋物線切線距離大于4恒成立，最后根據二次方程實根分布列不等式解得結果.

（1）由題意可設拋物線C的方程：，則得，所以

（2）由對任意的拋物線C上都存在四個點到直線l的距離為，得，

設與直線平行的直線，要滿足題設條件“對任意的拋物線C上都有四個點到直線l的距離為”，

則有當與拋物線相切時，點到距離大于4恒成立，

由得：

得

點到距離為

所以不等式恒成立，

代入 整理得：，令,

即在上恒成立

所以①得，求得

或②得

所以