Question

【題目】已知數列和滿足若為等比數列，且

（1）求和；

（2）設，記數列的前項和為

①求；

②求正整數 k，使得對任意均有.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n(n∈N*)．bn＝n(n＋1)(n∈N*)．（2）(i) Sn＝ (n∈N*)．(ii)k＝4.

【解析】解：(1)由題意a1a2a3…an＝，b3－b2＝6，知a3＝()b3－b2＝8. 設數列{an}的公比為q,又由a1＝2，得 ，q＝2(q＝－2舍去)，所以數列{an}的通項為an＝2n(n∈N*)．

所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．

故數列{bn}的通項為bn＝n(n＋1)(n∈N*)．

(2)(i)由(1)知cn＝ (n∈N*)．所以Sn＝ (n∈N*)．

(ii)因為c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，當n≥5時，cn＝

而得所以，當n≥5時，cn<0.

綜上，若對任意n∈N*恒有Sk≥Sn，則k＝4.