Question

【題目】動(dòng)圓與相外切，與相內(nèi)切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）是動(dòng)圓的半徑最小時(shí)的圓，傾斜角為且過(guò)點(diǎn)的直線l與相切，與軌跡交于，兩點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)動(dòng)圓與 外切，與內(nèi)切，由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓；

（2）由（1）知：要使半徑最小，則最小，易知，

則可設(shè)直線方程為，根據(jù)直線與圓相切求出參數(shù)的值，即可得到直線方程，最后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.

解：（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則由題可知：，

∴，

由橢圓定義可知點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，

長(zhǎng)軸為6的橢圓，，

，，

的軌跡方程為：

（2）由（1）知：要使半徑最小，

則最小，易知

由于，，圓的方程為：

又由題可得直線的方程為：，即

到直線的距離為：，或（舍去）

∴直線的方程為：，聯(lián)立橢圓方程：消去整理得：

，設(shè)，

則，，

∴．