Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的方程為，設AB是過橢圓C中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上與O不重合的點.

（1）求以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程；

（2）若，當點A在橢圓C上運動時，求點M的軌跡方程；

（3）記M是l與橢圓C的交點，若直線AB的方程為，當面積取最小值時，求直線AB的方程；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據橢圓方程確定雙曲線方程的，，即可求出雙曲線方程；

（2）設，根據，建立，的關系即可求出點M的軌跡方程；

（3）根據題設條件，建立關于斜率的表達式，利用面積最小值求出斜率，進而求出直線AB的方程.

（1）由題知橢圓C的方程為，

則橢圓的，，，

所以橢圓的左焦點和左頂點的坐標分別為，，

設雙曲線方程為，

根據題中條件有雙曲線方程的，，，

所以雙曲線方程為.

（2）設，，

由題知,，

有，

因為點在橢圓上，

有，

所以點的軌跡方程為.

（3）由題知，，

聯立，

解得，，

所以，

，

因為是線段AB的垂直平分線，

所以，

聯立，

解得，，

所以，

所以，

整理得，

當且僅當時等號成立，

等號成立時面積最小，即，

所以當面積取最小值時，直線AB的方程為.