Question

【題目】已知為實數，用表示不超過的最大整數，例如，，.對于函數，若存在且，使得，則稱函數是“和諧”函數.

（1）判斷函數，是否是“和諧”函數；（只需寫出結論）

（2）設函數是定義在上的周期函數，其最小周期為，若不是“和諧”函數，求的最小值.

（3）若函數是“和諧”函數，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是“和諧”函數，不是“和諧”函數.（2）最小值為1.（3）且，且

【解析】

（1）根據“和諧”函數的定義即可判斷，是否是“和諧”函數.

（2）根據周期函數的定義，結合“和諧”函數的條件，進行判斷和證明即可.

（3）根據“和諧”函數的定義，分別討論，和時，滿足的條件即可.

（1）由題知：是“和諧”函數，

不是“和諧”函數.

（2）的最小值為.

因為是以為最小正周期的周期函數，所以.

假設，則，所以，矛盾.

所以必有，

而函數的周期為1，且顯然不是“和諧”函數，

綜上，的最小值為1.

（3）當函數是“和諧”函數時，

若，則顯然不是“和諧”函數，矛盾.

若，則，

所以在，上單調遞增，

此時不存在，使得，

同理不存在，使得，

又注意到，即不會出現的情形，

所以此時不是“和諧”函數.

當時，設，

所以，所以有，其中，

當時，

因為，所以，

所以.

當時，，

因為，所以，

所以.

記，綜上，我們可以得到“且，且”.