Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若存在兩個極值點，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當時，在單調遞減.，

當時， 在單調遞減，在單調遞增.

（2）證明見解析.

【解析】分析：(1)首先確定函數的定義域，之后對函數求導，之后對進行分類討論，從而確定出導數在相應區間上的符號，從而求得函數對應的單調區間；

(2)根據存在兩個極值點，結合第一問的結論，可以確定，令，得到兩個極值點是方程的兩個不等的正實根，利用韋達定理將其轉換，構造新函數證得結果.

詳解：（1）的定義域為，.

（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減.

（ii）若，令得，或.

當時，；

當時，.所以在單調遞減，在單調遞增.

（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.

由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，則.由于

，

所以等價于.

設函數，由（1）知，在單調遞減，又，從而當時，.

所以，即.