Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.
已知的三個頂點在拋物線:上運動，
（1）. 求的焦點坐標；
（2）. 若點在坐標原點， 且，點在上，且 ，
求點的軌跡方程；
（3）. 試研究: 是否存在一條邊所在直線的斜率為的正三角形，若存在，求出這個正三角形的邊長，若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) 【解】. 由得所以,焦點坐標為　　　　　　　　……3分
(2) 【解1】設點的坐標為,邊所在的方程為(顯然存在的),與拋物線交于                 
則得,                   ……5分
又點在拋物線上,故有,
  或(舍)
 -------①                                           ……7分
又的斜率為,則有  ,既代入①
故點軌跡為  (注:沒寫扣1分)       ……9分
另解:由上式①過定點,,
所以, , 既
【解2】設點的坐標為,方程為,由得方程為
,則得, 同理可得
方程為恒過定點,
 ,
所以, , 既
(注:沒寫扣1分)
（其他解法,可根據【解1】的評分標準給分）
(3) 【解1】
若存在邊所在直線的斜率為的正三角形,設,
(其中不妨設), 則 ,    ------① ……11分
令,則,即
將①代入得,,                                
   -----------------②                         ……13分
線段的中點為,由①, ②得的橫坐標為,
的縱坐標為                 ……15分
又設由得
 點在拋物線上,則,即,
又因為 ,                                          ……18分
設,
的三邊所在直線的斜率分別是
   ------①    ……12分
若邊所在直線的斜率為,邊所在直線和軸的正方向所成角為
,則,
所以                                         ……14分
即-----②    
又--------------③                            ……16分
所以,
將②, ③代入上式得邊長                                      ……18分
（其他解法,可根據【解1】的評分標準給分）

略