Question

（本小題滿分14分）
已知拋物線和直線沒有公共點（其中、為常數），動點是直線上的任意一點，過點引拋物線的兩條切線，切點分別為、，且直線恒過點.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知點為原點，連結交拋物線于、兩點，
證明：.

Answer 1

解：（1）如圖，設，

由，得   ∴的斜率為
的方程為   同理得
設代入上式得，
即，滿足方程
故的方程為    ………………4分
上式可化為，過交點
∵過交點， ∴，
∴的方程為              ………………6分
（2）要證，即證
設，
則 ……（Ⅰ）
∵，
∴直線方程為，
與聯立化簡
∴ ……①    ……② ……10分
把①②代入（Ⅰ）式中，則分子

    …………（Ⅱ）
又點在直線上，∴代入Ⅱ中得：
∴ 
故得證                            ………………14分

略