Question

某廠家擬在2006年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x=3(k為常數)，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件.已知2006年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用).

(1)將2006年該產品的利潤(萬元)表示為年促銷費用m(萬元)的函數；

(2)該廠家2006年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大?

Answer 1

思路分析：(1)本題含有多個計算公式：年利潤=年銷售收入-總成本；年銷售收入=年銷售量×銷售價格；總成本=產品成本＋促銷費用；銷售價格=1.5×每件產品年平均成本；產品成本=固定投入＋再投入；每件產品年平均成本=產品成本／年銷售量.

(2)轉化為求函數y=f(m)的最大值.

解：(1)由題意可知,當m=0時，x=1(萬件)，

∴1=3-k,即k=2.

∴x=.

由題意,得每件產品的銷售價格為1.5×(元)，則2006年的利潤

y=x［1.5×］-(8+16x+m)

=4+8x-m

=4+8(3)-m

=-m+28(m≥0)，

即y=-m+28(m≥0).

(2)下面證明當0≤m≤3時，函數y=-m+28是增函數.

設0≤m₁＜m₂≤3，則

y₁-y₂=(-m₁+28)-(-m₂+28)

=()+(m₂-m₁)

=+(m₂-m₁)

=(m₁-m₂)［-1］,

∵0≤m₁＜m₂≤3，∴m₁-m₂＜0，0＜(m₂+1)(m₁+1)＜16.

∴＞1.

∴-1＞0.

∴y₁＜y₂.

∴當0≤m≤3時，函數y=-m+28是增函數.

同理可證,當m＞3時，函數y=-m+28是減函數.

則當m=3(萬元)時，y_min=21(萬元).

∴該廠家2006年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大值為21萬元.